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Frecuencia de las notas musicales

Si tienes que realizar una aplicación que trate con sonido y música, seguro que tarde o temprano tienes que trabajar con las notas musicales.

Un sonido no es más que una vibración del aire que nuestros oidos pueden captar. Un sonido que tiene un determinado tono, depende de la frecuencia a la cual vibra el aire. Las notas musicales son vibraciones de frecuencias determinadas. Por supuesto, en la creación de música intervienen muchos otros factores complejos, como por ejemplo, el timbre.

No obstante, una vibración sinusoidal a una frecuencia concreta, produce un sonido puro que nosotros percibimos como un pitido de un determinado tono.

En el sistema musical occidental, se ha acordado utilizar sólo unas frecuencias concretas, a las cuales llamamos notas.

Dividimos las posibles frecuencias en porciones que llamamos "octavas", y cada octava en 12 porciones que llamamos notas. Cada nota de una octava tiene exactamente la mitad de frecuencia que la misma nota en la octava superior.

El oido humano capta sólamente frecuencias que estén por encima de los 20Hz y por debajo de los 20.000 (muy aproximadamente). Así pues, y con mucha suerte, sólo podemos oir unas 10 octavas como mucho, con doce notas cada una.

La nota La sirve como referencia para todas las demás. A menudo se denomina "nota de afinar". Se produce un La de afinar cuando el aire vibra 440 veces por segundo, es decir a 440 hertzios. Por convención, a la octava que contiene esta nota La se le suele considerar la cuarta.

Hay otra nota La, de una "octava" superior (la quinta octava) cuando el aire vibra a 880 hertzios, y otra más cuando vibra a 880*2 (sexta octava), y otra a 880*2*2 (séptima octava), etc, del mismo modo que hay un La que se produce cuando el aire vibra a 440/2 (tercera octava) y otra a 440/2/2 (segunda octava).

Por convención, al La de la cuarta octava se le denomina La4, y análogamente al resto de las notas... con su nombre y el número de la octava en minúscula. Por ejemplo, Re#2 es el Re sostenido (o Mi bemol, que viene a ser lo mismo) de la segunda octava.

Estas convenciones se encuentran estandarizadas desde 1939, y se conoce como Índice Acústico Científico(external link).


Para hallar la frecuencia de una nota cualquiera mediante una expresión matemática, se suele coger una frecuencia de referencia, por ejemplo el La de afinar (La4, 440 Hertzios) y se multiplica por la raiz duodécima de 2 elevado al número de semitonos que separa el la de afinar de la nota que estamos buscando.

Por ejemplo, si buscamos el Do de la quinta octava (Do5, está separado 3 semitonos por encima del La4. Su frecuencia la podemos calcular multiplicando 440 por la raiz duodécima de 2 elevado a 3. Si buscásemos el Fa4, está cuatro semitonos por debajo del La4. Los semitonos hacia abajo los consideraremos negativos. Así pues, su frecuencia se obtiene multiplicando 440 por la raiz duodécima de 2 elevado a -4.

Con caracter general, una nota n (n=1 para Do, n=2 para Do#... n=12 para Si) de la octava o (o desde 0 hasta 10) tiene una frecuencia f(n,o) que podemos calcular de ésta manera:

Con raíz duodécima de 2


Esta expresión puede ser dificil de codificar en algunos lenguajes de programación, ya que es muy probable que no dispongan de funciones matemáticas para hallar una raíz duodécima. Adaptarla un poco es muy sencillo, ya que la raíz duodécima de 2 se puede calcular como 2 elevado a 1/12, con lo que la expresión quedaría de ésta manera:

Con potencia fraccionaria


Aún así es posible que no podamos codificarla si no disponemos de una función que nos permita potencias de cualquier exponente. No obstante, tampoco supone problema. Todos los lenguajes que se precien disponen al menos de una función para hallar logaritmos (por ejemplo, naturales) y otra para hallar potencias de e (la base de los logaritmos naturales).

Una potencia cualquiera, por ejemplo xy puede ser calculada con potencias de e y logaritmos naturales (en realidad, podría hacerse con cualquier base).

Veamos.... Si tenemos una potencia k=xy podemos tomar logaritmos a ambos lados de la expresión y manipularla un poco...

Partimos de ésta expresión:
ln(k)=ln(xy)
y la manipulamos un poco aplicando las reglas de manipulación de los logaritmos
ln(k)=ln(x)y
ln(k)=y·ln(x)
finalmente, tomamos potencias de base e en ambos lados de la ecuación
eln(k)=ey·ln(x)


Así que podemos concluir que

k=ey·ln(x)


Utilizando esta expresión en nuestra fórmula de la frecuencia para quitarnos de enmedio la potencia, finalmente queda de ésta manera:

Con potencia de e


Así pues, ya es muy sencillo obtener un pseudocódigo que dada una nota y una octava, nos devuelva la frecuencia.

pseudocódigo
frecuencia(nota,octava) := 440 * exp(  (octava-4)+ ((nota-10)/12) *ln(2) )


Donde octava es un entero entre 0 y 10, y "nota" es un entero en el rango de 1 a 12. Do=1, Do#=2, Re=3, Re#=4, Mi=5, Fa=6, Fa#=7, Sol=8, Sol#=9, La=10, La#=11, Si=12.

Esta expresión ya puede utilizarse prácticamente en cualquier lenguaje de programación con mínimas capacidades de cálculo matermático. Por ejemplo, en C#:

C#
double frecuencia(double nota, double octava) 
  {
     return (440.0 * Math.Exp(((octava-4)+(nota-10)/12)*Math.Log(2)));
  }


Tabla de frecuencias

Utilizando ésta última fórmula, hemos construido la tabla que sigue con las frecuencias de las 8 octavas que se utilizan habitualmente en la música occidental.


Do0: 16,351598 Hz
Do#0: 17,323914 Hz
Re0: 18,354048 Hz
Re#0: 19,445436 Hz
Mi0: 20,601722 Hz
Fa0: 21,826764 Hz
Fa#0: 23,124651 Hz
Sol0: 24,499715 Hz
Sol#0: 25,956544 Hz
La0: 27,500000 Hz
La#0: 29,135235 Hz
Si0: 30,867706 Hz

Do1: 32,703196 Hz
Do#1: 34,647829 Hz
Re1: 36,708096 Hz
Re#1: 38,890873 Hz
Mi1: 41,203445 Hz
Fa1: 43,653529 Hz
Fa#1: 46,249303 Hz
Sol1: 48,999429 Hz
Sol#1: 51,913087 Hz
La1: 55,000000 Hz
La#1: 58,270470 Hz
Si1: 61,735413 Hz

Do2: 65,406391 Hz
Do#2: 69,295658 Hz
Re2: 73,416192 Hz
Re#2: 77,781746 Hz
Mi2: 82,406889 Hz
Fa2: 87,307058 Hz
Fa#2: 92,498606 Hz
Sol2: 97,998859 Hz
Sol#2: 103,826174 Hz
La2: 110,000000 Hz
La#2: 116,540940 Hz
Si2: 123,470825 Hz

Do3: 130,812783 Hz
Do#3: 138,591315 Hz
Re3: 146,832384 Hz
Re#3: 155,563492 Hz
Mi3: 164,813778 Hz
Fa3: 174,614116 Hz
Fa#3: 184,997211 Hz
Sol3: 195,997718 Hz
Sol#3: 207,652349 Hz
La3: 220,000000 Hz
La#3: 233,081881 Hz
Si3: 246,941651 Hz


Do4: 261,625565 Hz
Do#4: 277,182631 Hz
Re4: 293,664768 Hz
Re#4: 311,126984 Hz
Mi4: 329,627557 Hz
Fa4: 349,228231 Hz
Fa#4: 369,994423 Hz
Sol4: 391,995436 Hz
Sol#4: 415,304698 Hz
La4: 440,000000 Hz
La#4: 466,163762 Hz
Si4: 493,883301 Hz

Do5: 523,251131 Hz
Do#5: 554,365262 Hz
Re5: 587,329536 Hz
Re#5: 622,253967 Hz
Mi5: 659,255114 Hz
Fa5: 698,456463 Hz
Fa#5: 739,988845 Hz
Sol5: 783,990872 Hz
Sol#5: 830,609395 Hz
La5: 880,000000 Hz
La#5: 932,327523 Hz
Si5: 987,766603 Hz

Do6: 1046,502261 Hz
Do#6: 1108,730524 Hz
Re6: 1174,659072 Hz
Re#6: 1244,507935 Hz
Mi6: 1318,510228 Hz
Fa6: 1396,912926 Hz
Fa#6: 1479,977691 Hz
Sol6: 1567,981744 Hz
Sol#6: 1661,218790 Hz
La6: 1760,000000 Hz
La#6: 1864,655046 Hz
Si6: 1975,533205 Hz

Do7: 2093,004522 Hz
Do#7: 2217,461048 Hz
Re7: 2349,318143 Hz
Re#7: 2489,015870 Hz
Mi7: 2637,020455 Hz
Fa7: 2793,825851 Hz
Fa#7: 2959,955382 Hz
Sol7: 3135,963488 Hz
Sol#7: 3322,437581 Hz
La7: 3520,000000 Hz
La#7: 3729,310092 Hz
Si7: 3951,066410 Hz


Do8: 4186,009045 Hz
Do#8: 4434,922096 Hz
Re8: 4698,636287 Hz
Re#8: 4978,031740 Hz
Mi8: 5274,040911 Hz
Fa8: 5587,651703 Hz
Fa#8: 5919,910763 Hz
Sol8: 6271,926976 Hz
Sol#8: 6644,875161 Hz
La8: 7040,000000 Hz
La#8: 7458,620184 Hz
Si8: 7902,132820 Hz

Do9: 8372,018090 Hz
Do#9: 8869,844191 Hz
Re9: 9397,272573 Hz
Re#9: 9956,063479 Hz
Mi9: 10548,081821 Hz
Fa9: 11175,303406 Hz
Fa#9: 11839,821527 Hz
Sol9: 12543,853951 Hz
Sol#9: 13289,750323 Hz
La9: 14080,000000 Hz
La#9: 14917,240369 Hz
Si9: 15804,265640 Hz

Do10: 16744,036179 Hz
Do#10: 17739,688383 Hz
Re10: 18794,545147 Hz
Re#10: 19912,126958 Hz
Mi10: 21096,163642 Hz
Fa10: 22350,606812 Hz
Fa#10: 23679,643054 Hz
Sol10: 25087,707903 Hz
Sol#10: 26579,500645 Hz
La10: 28160,000000 Hz
La#10: 29834,480737 Hz
Si10: 31608,531280 Hz





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Página última modificacion en Lunes 18 de Febrero, 2013 10:19:18 CET.



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