Hace algún tiempo, leí en un foro una discusión acerca de cómo calcular el área de un polígono irregular no necesariamente convexo. Por supuesto, todos los contertulios cayeron en la cuenta de que el área de del polígono debía calcularse por triangulación. Es decir, dividiendo el polígono en triángulos, calculando el área de cada triángulo y luego sumando todas las áreas.

Me llamaron tanto la atención las complicadas soluciones que se propusieron que me puse inmediatamente a buscar por internet para ver si encontraba alguna buena página acerca de ello. Como no la encontré, me animé a escribir este artículo, describiendo un algoritmo que me comentaron hace ya muchos años, pero que recuerdo especialmente por ser uno de los más ingeniosos que conozco.

Intentaré contarlo lo mejor que pueda.

Es evidente que el método para hallar este área de un polígono irregular debe diferir mucho de la que se utiliza para los polígonos regulares. Para calcular el área de un polígono regular, basta conocer un par de parámetros sobre ellos (por ejemplo, el número de lados y la longitud de uno de ellos) y aplicar una de las conocidas fórmulas que aprendimos en el cole.

Sin embargo, las aplicaciones del mundo real que trabajan con polígonos, suelen hacerlo sobre polígonos irregulares, de ahí su importancia.

Bien… el caso es que si contamos con un polígono irregular cualquiera…. Por ejemplo, éste...

Si estamos resolviendo el problema con lápiz y regla… la solución es sencilla. Cogemos el polígono y lo dividimos arbitrariamente en una serie de triángulos. Da igual qué triángulos escojamos mientras al final sólo queden triángulos.

Por ejemplo, así…

Ahora cogemos una escuadra y una regla y vamos triángulo por triángulo midiendo su base y su altura… y aplicamos esa fórmula que resuena en nuestra memoria como el tintineo de un martillo sobre un yunque: “Area del triángulo igual a base por altura partido por dos…”. Fantástico… una vez hallado el área de cada triángulo, sumamos todas las áreas y tenemos la del polígono entero.

El problema es que en las aplicaciones computacionales, los polígonos no están dibujados, así que no podemos sacar la regla para medir. Debemos recurrir a métodos computacionales.

En primer lugar, es necesario decir que los polígonos suelen definirse por las coordenadas en el plano de los puntos que conforman sus vértices. Uniendo cada punto con el siguiente y el último con el primero obtendremos una línea cerrada (una serie de segmentos, hablando con más propiedad) que conforma el polígono. Esa línea cerrada encierra una superficie plana que podemos medir. El resultado de esa medida será la extensión del área.

Empecemos por el principio… vamos a ver cómo calcular el área de un triángulo si tenemos las coordenadas de sus vértices, y luego veremos cómo utilizar ese método para hallar la de un polígono irregular.